공정한 팀 나누기에는 세 가지 뜻이 있어요

무작위, 균형, 순환: 먼저 어느 공정인지 정해요

팀을 나눌 때 "공정하게 하자"는 말에 모두 고개를 끄덕여도, 사람마다 머릿속 그림은 달라요. 크게 세 가지로 갈려요.

• 무작위의 공정: 누구도 결과를 조종할 수 없어야 해요. 친한 사람끼리 몰래 묶는 일, 나누는 사람이 눈치 보는 일을 막는 게 목적이에요.
• 균형의 공정: 팀끼리 실력이 비슷해야 해요. 경기가 한쪽으로 기울면 이긴 팀도 재미가 없으니까요.
• 순환의 공정: 여러 번 모이는 동안 골고루 섞여야 해요. 매주 같은 사람과만 한 팀이 되면 한 번 한 번이 무작위였더라도 불공평하게 느껴져요.

셋은 서로 부딪치기도 해요. 실력을 맞추려면 누군가 사람을 골라야 하니 무작위성이 줄고, 순환을 챙기려면 지난 기록을 봐야 하니 매번 새로 섞는 방식과 달라져요. 그래서 모이기 전에 이번에는 어느 공정이 가장 중요한지 한 가지를 먼저 정해 두는 게 좋아요. 이 글은 셋을 차례로 다루고, 각각에 맞는 방법과 숫자를 붙였어요.

섞은 다음 한 장씩 돌리는 방식과 팀 크기

이 사이트의 팀 나누기 도구는 카드 게임에서 패를 돌리는 것과 같은 방식으로 움직여요. 먼저 이름 목록 전체를 브라우저의 암호학적 난수로 섞어요. 뒤에서부터 한 칸씩 내려오며 아직 섞지 않은 자리 가운데 하나와 맞바꾸는 방식이라, 가능한 모든 순서가 똑같은 확률로 나와요. 그다음 섞인 순서대로 1팀, 2팀, 3팀, 다시 1팀 하는 식으로 한 명씩 나눠 줘요.

인원이 팀 수로 딱 나누어떨어지지 않으면 나머지 인원만큼 앞 번호 팀이 한 명씩 더 받아요. 실제 코드를 돌려 확인한 팀 크기예요.

표의 순서는 팀 번호 순서와 같아요. 7명을 3팀으로 나누면 화면에는 언제나 1팀이 3명, 2팀과 3팀이 2명으로 나와요. 어느 팀 번호가 커지는지는 정해져 있고, 그 큰 팀에 누가 들어가는지를 섞인 순서가 정해요. 한 사람이 3명짜리 팀에 들어갈 확률은 7명 중 3자리라서 3/7이에요. 피구처럼 머릿수가 곧 전력인 놀이라면, 남는 한 명을 심판이나 교체 선수로 돌리는 게 더 깔끔할 수도 있어요.

'팀당 인원으로 나누기'를 고르면 도구는 먼저 인원을 그 수로 나눈 뒤 올림해서 팀 수를 정해요. 13명을 팀당 5명으로 나누면 팀이 3개가 되고, 위 표의 3팀 줄처럼 5·4·4로 나뉘어요.

두 사람이 같은 팀에 들어갈 확률

"나랑 그 친구가 같은 팀이 될 확률은 얼마나 될까?" 같은 궁금증은 생각보다 간단하게 계산돼요. 나를 먼저 어느 자리에 두었다고 생각해 보세요. 친구는 남은 N−1개 자리 중 하나에 똑같은 확률로 들어가요. 내가 들어간 팀에 남은 빈자리 수를 N−1로 나누면 그게 답이에요.

팀 크기가 모두 같아서 한 팀이 s명이라면 확률은 (s−1)/(N−1)이에요. 12명을 2팀으로 나누면 5/11, 약 45.5%예요. 팀 크기가 다르면 내가 어느 팀에 들어가는지까지 따져야 해서 식이 하나 늘어요. 팀마다 s×(s−1)을 구해 모두 더한 뒤 N×(N−1)로 나누면 돼요. 7명을 3·2·2로 나누면 (6+2+2)÷42라서 약 23.8%예요.

공식만으로는 미덥지 않아서, 도구가 실제로 쓰는 나누기 코드를 그대로 불러와 경우마다 20만 번씩 두 차례 돌려 봤어요.

모의 실험 값은 공식 값에서 0.25%포인트 안쪽으로 오르내려요. 20만 번 돌렸을 때 자연스럽게 생기는 흔들림 정도라서, 도구가 특정 두 사람을 더 자주 묶거나 떼어 놓는 버릇은 보이지 않아요. 눈여겨볼 점은 2팀으로 나누면 확률이 50%에 가깝지만 조금 모자란다는 거예요. 내가 이미 한 자리를 차지했으니 친구가 들어갈 우리 팀 자리가 상대 팀보다 하나 적거든요.

가나다순 목록을 그대로 나누면 생기는 일

섞는 단계를 빼고 목록 순서대로 1팀, 2팀, 3팀 돌려 나누면 어떻게 될까요? 출석부처럼 가나다순으로 적은 12명이라면 1번, 4번, 7번, 10번이 매번 같은 팀이 돼요. 1번과 2번은 절대 같은 팀이 될 수 없고, 1번과 4번은 100% 같은 팀이에요. 앞의 표에서 본 27.27%와 비교하면 얼마나 치우친 방식인지 보여요. 성이 같은 형제나 번호가 붙어 있는 짝꿍은 언제나 갈라지고요.

목록이 실력순이라면 문제가 더 커져요. 1등부터 12등까지 적고 섞지 않은 채 3팀으로 돌리면 1팀은 1·4·7·10등, 3팀은 3·6·9·12등을 받아요. 순위를 더하면 1팀이 22, 2팀이 26, 3팀이 30이라서 언제나 1팀이 가장 강해요. 공정하게 돌려 나눈 것 같아도 목록을 만든 순서가 결과를 정해 버리는 셈이에요.

먼저 섞으면 이런 치우침이 사라져요. 목록이 어떤 순서로 적혀 있든 섞인 뒤의 순서는 모든 경우가 똑같이 나올 수 있으니까요. 그래서 이 도구는 이름을 입력한 순서를 전혀 신경 쓰지 않아도 되게 만들어져 있어요. 이름을 적은 사람이 순서를 바꿔 결과를 유리하게 만들 방법도 없고요.

실력을 맞출 때는 뱀 모양으로 뽑아요

균형이 목표라면 무작위만으로는 부족해요. 순위 1등부터 12등까지를 무작위로 6명씩 나누는 경우의 수는 924가지인데, 두 팀의 순위 합이 똑같이 39가 되는 경우는 그중 58가지, 6.3%뿐이에요. 순위 합 차이가 10 이상 벌어지는 경우는 448가지로 48.5%나 돼요. 두 번 중 한 번은 눈에 띄게 기운 팀이 나온다는 뜻이에요.

이럴 때 쓸 만한 방법이 뱀 모양 뽑기예요. 주장이 번갈아 고르되, 한 바퀴가 끝날 때마다 고르는 순서를 뒤집어요.

1. 참가자의 순위를 미리 정해요. 지난 경기 기록이 있으면 그걸 쓰고, 없으면 모두가 납득할 기준을 먼저 합의해요.
2. 주장들이 처음 고를 순서는 순서 정하기로 무작위로 정해요. 첫 번째로 고르는 쪽이 유리하다는 불만이 이 단계에서 사라져요.
3. 첫 바퀴는 A, B, C 순서로, 둘째 바퀴는 C, B, A 순서로 고르고, 이렇게 계속 뒤집어 가요.
4. 각 주장은 남은 사람 가운데 순위가 가장 높은 사람을 데려간다고 보고 결과를 확인해요.

순위 1등부터 12등까지를 이렇게 뽑으면 결과가 아래처럼 나와요.

12명이면 2팀이든 3팀이든 순위 합이 정확히 같아져요. 다만 순위 합이 같다고 전력이 같은 건 아니에요. 한 명이 경기를 좌우하는 종목이라면 1등을 데려간 팀이 여전히 유리하고, 순위 자체가 틀렸을 수도 있어요. 뱀 모양 뽑기는 출발점을 고르게 해 줄 뿐이니, 한 경기를 해 본 뒤 한두 명을 맞바꾸는 여지를 남겨 두세요.

매주 모이는 모임이라면 순환을 챙겨요

매번 새로 섞으면 한 번 한 번은 공정해도, 여러 주를 이어 보면 우연한 쏠림이 생겨요. 12명을 6명씩 2팀으로 4주 동안 나눈다고 해 볼게요. 두 사람이 한 주에 같은 팀이 될 확률이 5/11이니, 4주 내내 같은 팀일 확률은 (5/11)의 네제곱, 약 4.3%예요. 작아 보여도 12명 사이에는 짝이 66쌍이나 있어서, 평균 2.8쌍은 4주 내내 붙어 다니게 돼요. 반대로 한 번도 같은 팀이 되지 못하는 짝은 평균 5.8쌍이에요. 도구 코드로 4주짜리 모임을 5만 번 돌려 본 평균도 2.82쌍과 5.84쌍으로 계산과 맞았어요.

그렇다고 결과가 마음에 안 들 때마다 다시 누르면 무작위의 공정이 무너져요. 대신 규칙을 모이기 전에 정해 두세요.

• 기록 남기기: 결과의 복사 버튼으로 주마다 팀 구성을 단체 대화방이나 메모에 남겨요.
• 다시 섞는 조건 미리 정하기: 예를 들어 "3주 연속 같은 팀인 짝이 생기면 그 주에 한해 한 번만 다시 섞는다"처럼 조건과 횟수를 먼저 못 박아요.
• 두 사람만 맞바꾸기: 다시 섞는 대신, 붙어 다닌 짝 중 한 명을 상대 팀의 무작위 한 명과 바꾸는 방법도 있어요.

팁 바로 지난주와 팀 구성이 완전히 똑같이 나올 확률은 12명을 2팀으로 나눌 때 462번에 한 번꼴이에요. 그런 일이 생기면 장난처럼 넘기고 한 번 다시 섞자고 미리 약속해 두면 아무도 결과를 의심하지 않아요.